Sistemas Dinâmicos (2 º Sem 2011/2012)

ECO , FIN , GES , MAEG

Corpo Docente

JOÃO LOPES DIAS (Responsável)

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Breve introdução

Descrição: Sistemas dinâmicos é a área da Matemática que estuda o comportamento de sistemas que evoluem no tempo. A teoria pretende descrever a estrutura dessa evolução temporal, que é em geral bastante complexa. Exemplos surgem nas mais diversas áreas do conhecimento, incluindo no estudo de modelos em economia, finanças, física, biologia, química, demografia, etc.

Em contraste com modelos estáticos (e.g. o modelo de oferta e procura onde se busca um preço de equilíbrio), um sistema dinâmico caracteriza-se por permitir determinar a qualidade do ponto de equilíbrio em termos da sua estabilidade ou instabilidade. Esta propriedade dinâmica é determinante na forma como se avalia um modelo e se prevê a sua futura evolução.

Os modelos considerados no contexto dos sistemas dinâmicos são deterministas. Ou seja, conhecemos em qualquer instante as equações que regem o sistema (contrariamente a modelos estocásticos), partindo de certas condições iniciais. O que não significa que o problema seja solúvel. Tipicamente em sistemas não lineares, uma ínfima alteração das condições iniciais origina um comportamento assimptótico totalmente distinto. Este fenómeno é uma das marcas do chamado ?caos determinístico?.

Um modelo que irá ser estudado em detalhe, e que apesar de simples surpreende pela riqueza da sua dinâmica, é dado pela equação de recorrência x_n+1 = f(x_n) para a função quadrática f(x) = mx(1 - x), onde m é um parâmetro. Se x₀ é a fracção inicial de uma população animal em relação ao número máximo de indivíduos suportado pelo habitat, então x_n representa a mesma grandeza no ano n. O parâmetro m relaciona-se com o crescimento atribuído à espécie. Para diferentes espécies (i.e. valores de m) e para diferentes condições iniciais x₀, apesar da lei f que governa a dinâmica desta população ser simples (contudo não linear), obtemos uma sucessão x_n com variações muito complexas e mesmo caóticas. Nesse caso torna-se impossível prever a evolução desta população. Porém, algumas propriedades, nomeadamente estatísticas, poderão ser conhecidas.

Apesar de não existir uma definição rigorosa de ?caos?, é consensual relacionarmo-lo com a existência de quatro propriedades fundamentais dentro de uma região invariante do espaço de fases:

• Recorrência: Existem sempre órbitas que regressam um número infinito de vezes a uma vizinhança arbitrária de cada ponto.
• Regularidade: Existem muitas órbitas periódicas, de facto a sua união é densa.
• Imprevisibilidade: Duas órbitas inicialmente arbitrariamente próximas divergem exponencialmente ao longo do tempo.
• Universalidade: Apesar do comportamento aparentemente ?desordenado?, podemos calcular números que são invariantes por mudança de coordenadas e em famílias: expoentes de Lyapunov (para medir a divergência exponencial entre órbitas), entropia (uma medida de caos) e constantes universais (por exemplo, a razão entre os parâmetros correspondentes à duplicação do período) e auto-semelhança.

Isto é intrisecamente diferente do comportamento de sistemas estocásticos ou qualquer tipo de sistema aleatório.

O caos surge quando os sistemas exibem hiperbolicidade. Isto significa que as órbitas seguem determinadas direcções que contraem ou expandem exponencialmente a sua distância a órbitas vizinhas. Se tal acontece de forma semelhante em todos os pontos, o sistema diz-se uniformente hiperbólico. No entanto, esta não é a única situação. De facto, para a maioria dos sistemas naturais as órbitas sentem uma mistura de comportamentos hiperbólico e não hiperbólico, dando origem a uma dinâmica muito complicada.

Algum do material incluído no programa desta cadeira é especialmente relevante para tratar problemas de economia dinâmica. Note-se que todos os modelos são simplificações (ou abstrações) da realidade. De qualquer forma são úteis para obter uma descrição aproximada, mas objectiva, acerca da mesma realidade. Se considerarmos muitos dos modelos económicos actuais, a teoria matemática é inevitavelmente insuficiente. Assim, como anteriormente a física inspirou e motivou grande parte dos avanços da matemática, espera-se que o tratamento de modelos económicos venha impulsionar ainda mais esta disciplina.

?Dynamical systems have spread so widely into macroeconomics that vector fields and phase diagrams are on the verge of displac- ing the familiar supply-demand schedules and Hicksian crosses of static macroeconomics.?

? C. Azariadis in Intertemporal Macroeconomics, Blackwell, pág. xii, 1993.

Pré-requisitos: Considera-se uma formação base em Álgebra Linear, Análise em R, Rn e C, e Equações Diferenciais Ordinárias. Em particular, é assumido que já tenham tido alguma exposição aos seguinte tópicos:

• Teorema da função implícita
• Teorema da função inversa
• Forma canónica de Jordan
• Conjuntos de Cantor
• Variedades diferenciais
• Teorema de existência e unicidade de soluções de edo?s

Programa:

1. Tópicos.
   1. Exemplos em dimensão 1
      1. Conceitos básicos de sistemas dinâmicos
      2. Função quadrática e rotações da circunferência
      3. Dinâmica simbólica
      4. Expoentes de Lyapunov
      5. Uma definição de caos
      6. Teorema de Sharkovsky
   2. Teoria linear (quantitativa)
      1. Equações diferenciais lineares em dimensão d
      2. Equações às diferenças lineares em dimensão d
   3. Teoria não-linear (qualitativa)
      1. Funções de Lyapunov
      2. Teorema de Poincaré-Bendixon
      3. Teorema de Hartman-Grobman
      4. Variedades estáveis e instáveis
      5. Ferradura de Smale
      6. Intersecções homoclínicas transversais
2. Tópicos adicionais
   1. Dinâmica hiperbólica
      1. Estabilidade de conjuntos hiperbólicos
      2. Sistemas uniformemente hiperbólicos
   2. Teoria ergódica (estatística)
      1. Medidas invariantes, recorrência de Poincaré, ergodicidade e mixing
      2. Teoremas ergódicos
   3. Teoria KAM (perturbativa)
      1. Linearização diferenciável de difeomorfismos da circunferência
      2. Toros invariantes