Sistemas Dinâmicos (1 º Sem 2016/2017)

ECO , ECN , FIN , GES , MNG , MAEG

Breve introdução

Descrição: Sistemas dinâmicos é a área da Matemática que estuda o comportamento de sistemas que evoluem no tempo. A teoria pretende descrever a estrutura dessa evolução temporal, que é em geral bastante complexa. Exemplos surgem nas mais diversas áreas do conhecimento, incluindo no estudo de modelos em economia, finanças, física, biologia, química, demografia, etc.

Em contraste com modelos estáticos (e.g. o modelo de oferta e procura onde se busca um preço de equilíbrio), um sistema dinâmico caracteriza-se por permitir determinar a qualidade do ponto de equilíbrio em termos da sua estabilidade ou instabilidade. Esta propriedade dinâmica é determinante na forma como se avalia um modelo e se prevê a sua futura evolução.

Os modelos considerados no contexto dos sistemas dinâmicos são deterministas. Ou seja, conhecemos em qualquer instante as equações que regem o sistema (contrariamente a modelos estocásticos), partindo de certas condições iniciais. O que não significa que o problema seja solúvel. Tipicamente em sistemas não lineares, uma ínfima alteração das condições iniciais origina um comportamento assimptótico totalmente distinto. Este fenómeno é uma das marcas do chamado caos determinístico.

Um modelo que irá ser estudado em detalhe, e que apesar de simples surpreende pela riqueza da sua dinâmica, é dado pela equação de recorrência x_n+1 = f(x_n) para a função quadrática f(x) = mx(1 - x), onde m é um parâmetro. Se x₀ é a fracção inicial de uma população animal em relação ao número máximo de indivíduos suportado pelo habitat, então x_n representa a mesma grandeza no ano n. O parâmetro m relaciona-se com o crescimento atribuído à espécie. Para diferentes espécies (i.e. valores de m) e para diferentes condições iniciais x₀, apesar da lei f que governa a dinâmica desta população ser simples (contudo não linear), obtemos uma sucessão x_n com variações muito complexas e mesmo caóticas. Nesse caso torna-se impossível prever a evolução desta população. Porém, algumas propriedades, nomeadamente estatísticas, poderão ser conhecidas.

Apesar de não existir uma definição rigorosa de caos, é consensual relacionarmo-lo com a existência de quatro propriedades fundamentais:

• Recorrência: Existem sempre órbitas que regressam um número infinito de vezes a uma vizinhança arbitrária de cada ponto.
• Regularidade: Existem muitas órbitas periódicas, de facto a sua união é densa.
• Imprevisibilidade: Duas órbitas inicialmente arbitrariamente próximas divergem exponencialmente ao longo do tempo.
• Universalidade: Apesar do comportamento aparentemente desordenado, podemos calcular números que são invariantes por mudança de coordenadas e em famílias: expoentes de Lyapunov (para medir a divergência exponencial entre órbitas), entropia (uma medida de caos) e constantes universais (por exemplo, a razão entre os parâmetros correspondentes à duplicação do período) e auto-semelhança.

Isto é intrisecamente diferente do comportamento de sistemas estocásticos ou qualquer tipo de sistema aleatório.

O caos surge quando os sistemas exibem hiperbolicidade. Isto significa que as órbitas seguem determinadas direcções que contraem ou expandem exponencialmente a sua distância a órbitas vizinhas. Se tal acontece de forma semelhante em todos os pontos, o sistema diz-se uniformente hiperbólico. No entanto, esta não é a única situação. De facto, para a maioria dos sistemas naturais as órbitas sentem uma mistura de comportamentos hiperbólico e não hiperbólico, dando origem a uma dinâmica muito complicada.

Pré-requisitos: Considera-se uma formação base em álgebra linear, análise em R, Rn e C, equações diferenciais ordinárias e às diferenças.